|
|
Русское Философское Общество им Н. Н. Страхова Общественный Совет
журнала
ФИЛОСОФСКАЯ КУЛЬТУРА
Журнал русской интеллигенции
№ 2
июль –
декабрь 2005, Санкт-Петербург
Василий Чернышев
Письма о естественных заблуждениях ума
Письмо второе – РАССУЖДЕНИЯ ОБ АПОРИЯХ ЗЕНОНА.
Итак, любезный друг, я снова Вам пишу, и продолжаю терзать уже новыми
рассуждениями, не разрешив еще вопроса о происхождении мира (да и отчаявшись
его разрешить); но теперь изложу свои мысли по более простому поводу (или
более сложному?) – о противоречиях в самих наших мыслях и рассуждениях, с
помощью которых мы пытаемся понять этот мир, начала его и пути.
Кроме того, во мне уже всё и помимо науки перемешалось, и если я начинаю
рассуждать о том, почему кругом неправда и зло, тут же сбиваюсь на бытие
Божие, от него – на возможность или действительность сверхъестественного… а
дальше уже естественно думаю об устройстве и бытии мира естественного и,
наконец, о невозможности его переделать, или, хотя бы, понять, а значит и
оправдать.
Возможно, веке в девятнадцатом можно было от безумия жизни сбегать в
вычисления корней трансцендентных уравнений или коэффициентов эллиптического
ряда, но после того как математики помимо вычислений всерьез задумались о
самой математике, жить стало совсем невмоготу, логические проблемы, как и у
древних, из игрушек ума обратились в проблемы жизни.
Итак, любезный друг, погружаясь в житейское безумие, начнем с древних, и
порассуждаем сначала о противоречиях в познании бытия, известных как "Апории
Зенона" Элейского. Зенон жил, предположительно, около двух с половиной тысяч
лет назад, между 490-м и 445-ым годами до новой эры, через сто лет после
Пифагора, был младшим современником Гераклита, учеником Парменида, учителем
Горгия и умудренным собеседником молодого Сократа, как о том повествует
Платон, сомнительный друг Аристотеля (для которого "истина была дороже
дружбы с Платоном").
Собственное сочинение Зенона, в котором он изложил свои умозрения, будучи
еще совсем молодым, к сожалению, не сохранилось, а дошли до нас только
ссылки на них его последователей и оппонентов. Поскольку нельзя быть
уверенным, что эти весьма разноречивые ссылки достаточно точно передают
содержание аргументов Зенона, оправдан вольный их пересказ, после двух с
половиною тысячелетий анализа, изъяснения и возражений, в свете нового
философствования и математического анализа.
Согласно монографии В. Я. Комаровой «Учение Зенона Элейского» (Издательство
Ленинградского университета, 1988), на которую я опираюсь, основные
аргументы Зенона по ссылкам античных авторов таковы:
1. О несуществовании пространства.
Симплиций – Евдем таким образом повествует о мнении Зенона: «Все, что
существует, где-то находится. Если же место принадлежит к числу существующих
частей, то где бы оно было возможно?»
2. О противоречии многого и единичного и несуществовании точки.
Симплиций – Зенон, передают, говорил, что если кто-нибудь объяснил
бы ему, что такое единое, он мог бы сказать, что такое сущее. А затруднялся
он, поскольку руководствовался тем, что о каждом из чувственно
воспринимаемых говорится как о многом и делимом, а с другой стороны, точка
даже единицы не делает. Ибо он не считал, что существует то, что и будучи
прибавлено, не увеличивает, и будучи отнято, не уменьшает.
3. О невозможности движения в условии бесконечной делимости
расстояния, или о необходимости неделимого.
Симплиций И также, если движущееся тело проходит некоторое
расстояние, то поскольку расстояние делимо бесконечно, движущееся должно
было бы сперва пройти половину, но прежде чем оно пройдет целую половину,
оно должно было бы пройти ее половину, и опять половину этой половины…
Симплиций – Если движение существует, то возможно занять бесконечное
число положений, делая бесконечное число касаний одно за другим… ибо если
каждая величина бесконечно делима, она будет составлена из бесконечного
числа частей, но невозможно коснуться каждого члена бесконечного на том
основании, что человек делал бы касания как если бы их считал, а невозможно
сосчитать бесконечное. И также невозможно, что бы что-либо прошло какое-то
бесконечное в конечное время, поскольку оно не переберет совершенно до конца
все бесконечные части.
Аргумент о движении, известный как "Апория об Ахиллесе и черепахе".
Симплиций. И также самое медленное не будет настигнуто самым
быстрым, ибо пока преследующее прибудет в то место, где преследуемое
находилось перед тем, то уже отодвинется; пока добежит он и до следующего
места, то вновь слегка отодвинется… и так, поскольку преодоление расстояний,
хотя и уменьшающихся, происходит из-за бесконечной делимости величин
бесконечно, то Ахиллес не только не догонит Гектора, но не сможет догнать и
черепаху.
Аристотель. И также более медленное в беге никогда не будет
настигнуто самым быстрым, ибо прежде чем преследующее туда явилось,
преследуемое уже выступило оттуда, а поэтому оказывается, что более
медленное всегда будет находиться впереди.
(Согласно Аристотелю, «длина, время и вообще все непрерывное называются
бесконечными двояко: либо в отношении деления, либо в отношении границы»).
4. Противоречия движения и покоя.
Епифаний. И Зенон говорит, что движущееся движется или в месте, в
котором оно находится, или в месте, в котором оно не находится; и оно не
движется ни в месте, в котором оно находится, ни в месте, в котором его нет.
Аргумент о движении и покое, или "Апория о летящей стреле".
Филопон. Всё то, что занимает равное себе место, или покоится, или
движется; но ничто не может двигаться, когда оно занимает равное себе место,
следовательно, оно покоится. Летящая стрела в каждый момент «теперь» своего
движения покоится, находясь в равном себе месте; если же она покоится в
каждом из бесчисленных моментов времени, она покоится все время.
В данном письме я не рассматриваю менее ясные аргументы: о едином и многом,
и о бесконечной делимости ощущения. А тогда затруднения в анализе сущего, на
которые указывают вышеприведенные рассуждения, можно классифицировать
следующим образом.
Прежде всего, элейский философ указывает на неустранимое противоречие,
заключенное в понятии непрерывной изменчивости, которая является свойством,
например, времени, ибо время течет и изменяется; а также является свойством
количественной переменной.
Противоречие изменчивости проявляется, как указал Зенон, в следующих видах:
1. Начало движения. В начальной точке движения тело еще покоится, но во
всякой сколь угодно близкой к началу точке уже движется, следовательно в
начальной точке оно по крайней мере перестает покоиться, а следовательно и
движется и покоится одновременно.
Движущийся покой или покоящееся движение – вот первое противоречие Зенона.
Но оно же является и нарушением закона тождества, ибо в начальной точке
покоящееся тело и является собою, если еще покоится, и не является собою,
если уже движется.
2. В продолжение движения, когда, казалось бы, покой нам только снится, тело
уже не покоится, однако «апория о летящей стреле» заставляет усомниться и в
этом. Представляя время как последовательность мгновений, мы видим, что в
каждое мгновение положение летящей стрелы неизменно, следовательно, она в
каждое мгновение своего движения покоится.
Это то же противоречие, что и в начале движения, только более скрытое. Если
в начале движения покой и движение соединяются как "последний покой", уже
теряющий бытие, и как "первый порыв", еще не начавший "быть", то при полете
стрелы покой обнаруживается лишь при переходе к мгновению, когда интервал
времени обращается в нуль.
Естественно возразить, что если в "течение мгновения" тело находится в
некотором месте, и в нем оно, следовательно, тождественно себе, и
следовательно, существует, то с той же уверенностью утверждать, что
существует мгновение (или что оно по крайней мере является врéменем), –
невозможно, ибо время порождает всё то, что происходит, оно – причина и
залог изменения; но в нулевое время ничего не происходит.
Но если нет мгновения, то нет и покоя в это мгновение…
Однако, летящая стрела в каждое мгновение где-то пребывает, занимает
некоторое положение (то есть покоится), в любое другое мгновение она
пребывает уже в другом месте, потому-то движение и называется перемещением
(изменением положения, места); а в течение времени, отличного от мгновения,
стрела движется, то есть занимает бесконечное множество положений – какое
положение она тогда занимает? Можно ли утверждать, что она хоть где-нибудь
пребывает? Можно ли сказать, что она "вот здесь", если она существует в
целом диапазоне пространства?
Но если существовать означает занимать некоторое определенное положение в
пространстве и происходить в некотором времени (как, например, снег или
дождь), то существует ли то, что не занимает определенного положения, то
есть нигде не находится? А поскольку движущееся находится в одном месте
только в "течение мгновения", то для определенности положения движущихся тел
должно существовать и мгновение. (Ибо иначе ничто из движущегося никогда не
сможет занимать определенного положения, а значит ничто из движущегося не
сможет существовать. Да к тому же, чтобы хоть что-нибудь равнялось себе, оно
должно пребывать неизменным, а неизменным можно быть только "в течение"
мгновения.)
Итак, летящая стрела существует лишь постольку, поскольку в каждое мгновение
пребывает в определенном месте, то есть покоится; но если время состоит из
мгновений, то движение состоит из положений покоя (не так ли, как и
протяженность состоит из непротяженных точек?)
Во-вторых, апории Зенона указывают на неустранимое противоречие, заключенное
в представлении о бесконечной делимости расстояния; так, апория "об Ахиллесе
и черепахе" гласит, что Ахиллес, догоняющий черепаху, никогда ее не догонит,
ибо пока он пробежит разделяющее их расстояние, она слегка отползет; когда
же он пробежит и это расстояние, она и в этот раз отползет… и так будет
происходить постоянно, сколь бы малым ни было расстояние между ними.
Одна из современных попыток разрешения парадокса Зенона состоит в том, чтобы
число таких "пока" устремить к бесконечности, и так как при этом переменное
расстояние между Ахиллесом и черепахой представляет из себя бесконечно-малую
Sn, то оно устремится к нулю и в пределе его как раз и составит – тут-то
Ахиллес и настигнет черепаху.
Однако не следует забывать, что расстояние Sn ни при каком значении n не
равняется нулю кроме как при n = ∞, но дело именно в том, что n, принимая
сколь угодно большие значения, остается числом конечным, и ему соответствует
не равное нулю расстояние между Ахиллесом и черепахой, и вот пока Ахиллес
пробегает это (черт бы его побрал!) n-ое расстояние, черепаха неспеша
наползает (n+1)-ое расстояние, спокойно зная, что пока он его не пробежит,
ее не догонит, а она тем временем...
Ибо бесконечная положительная монотонно убывающая последовательность Sn
никогда не достигает своего предела, равного нулю.
Именно поэтому Ахиллес не сможет добежать даже до того места, которое
занимала черепаха еще в самом начале состязания между ними, ибо сначала он
должен будет пробежать первую половину этого расстояния; затем половину
половины… и так он будет бежать, пока не падет бездыханным.
Пока Ахиллес пробегает первую половину пути ΑΒ, черепаха может еще
раздумывать, стоит ли ей торопиться; но затем, видя, что прежде чем добежать
до точки Β, ему требуется пробежать бесконечную последовательность
уменьшающихся отрезков, а это невозможно, черепаха может и вовсе успокоиться
и продолжать пощипывать травку.
Но может ли составиться протяженность из бесконечной суммы протяженностей?
Отрезок можно разделить на части – но можно ли его разделить на бесконечное
число частей, и тем более составить его из них?
Представляя отрезок как половину, плюс половину половины и так далее, мы
предлагаем правило составления целого из частей – но может ли когда-либо
закончиться составление, если бесконечность недостижима, если конца у
неограниченной последовательности нет, а только ее конечные части?
Слово "пока" связывает последовательность с временем, и тогда позволительно
спросить – существует ли сумма у последовательности Sn, и можно ли ее
составить последовательным сложением? Ясно, что составить (всю) нельзя; но
тогда существует ли она? И представим ли интервал времени, которое должен
был бы затратить Ахиллес, чтобы догнать черепаху, в виде суммы бесконечной
последовательности интервалов, прежде нежели будет достигнуто мгновение, в
которое Ахиллес воскликнет: остановись, мгновенье! … я тебя догнал!
Да и, кроме того, справедливо ли, что S = lim Σ Sn?
Действительно, никакая частичная последовательность отрезков Sn не содержит
в себе правый конец отрезка S – следовательно и предел их суммы не содержит
в себе эту точку, то есть lim (Σ Sn) = [S), так как справедливо, что Σ [Sn]
‹ Σ [Sn+1), но пределом суммы открытых справа промежутков [Sn+1) не может
быть замкнутый промежуток [ S ].
Следовательно, путь S, на котором Ахиллес догоняет черепаху, не состоит из
последовательности отрезков [Sn], и хотя в пределе расстояние, разделяющее
Ахиллеса и черепаху, равно нулю – но геометрический отрезок пути,
разделяющий Ахиллеса и черепаху, который Ахиллесу каждый раз надо
«пробежать, ибо пока…» – представляет из себя не число, а интервал, и хотя в
пределе является не более чем точкой, но все-таки их разделяет.
В апории пространство и линии его предполагаются неограниченно делимыми и
непрерывными (вопреки учению Демокрита о существовании неделимого, то есть
Атома), следовательно, это пространство геометрических линий и числовых
представлений – совпадает ли оно с житейским пространством, данным нам в
ощущениях, или с физическим и биологическим пространством современной науки
(тем более что у последнего нет определений, отличающих его от наших опытных
и интуитивных представлений, и ученый, исследующий движение видимых комет и
невидимых нейтронов, и землемер, измеряющий размеры приусадебного участка,
исходят из общей для них интуиции, несмотря на множество книг, написанных за
последние две тысячи лет, в которых много рассуждений о том, что такое
пространство и время, во многом друг другу противоречащих, – но если даже
парадоксы Зенона пока не разрешены, то что поучительного сообщат нам эти
книги?)
Наименьшей частью геометрического пространства является точка. Но точка, по
мнению древних, это то, что не имеет частей – так существует ли точка? Что
протяженность существует, несомненно, но составляется ли она из точек? И
соответствует ли точке нечто в реальном мире?
Как бы мы ни мыслили реальное пространство – как независимое в самом себе
бытие, как совокупность физических и биологических объектов, или как
структуру, порождаемую этими объектами; или как то, во что мир вложен, или
то, что от него неотделимо, является его способом быть, – но в любом случае
мы представляем, что всякое существующее во плоти где-то находится и
когда-то происходит – с одной стороны; и в каждом месте пространства или
времени что-то находится или что-то происходит. То, что находится, занимает
место. Происходящее имеет длительность. Но находится ли нечто в точке,
происходит ли что-либо в некоторое мгновение?
Очевидно, что в точке, не имеющей частей, не может находиться даже
неделимое, то есть атом, если он не является точкой. Точно так же и
мгновение не сопровождает какое либо происшествие или действие, оно является
своего рода точкой числовой переменной, моделирующей время (о котором мы
знаем меньше, чем о переменной). В течение мгновения ничего не происходит,
как и в месте, занимаемом точкой, ничего нет.
Рассуждение Зенона относится к движению точки в непрерывном пространстве, в
котором возможна неограниченная делимость пути и времени, хотя протяженные
объекты нельзя заменить точками.
Итак, если геометрический отрезок мы мыслим как бесконечную
последовательность отрезков или как бесконечное множество точек, то мы
мыслим конечное состоящим из бесконечного, целое состоящим из того, что не
имеет частей, и протяженное – из элементов, лишенных протяжения.
Отождествление дискретного множества и непрерывной линии содержит еще
большее противоречие, неустранимое даже с помощью тех рассуждений, которые
(возможно) позволяют разрешить апорию Зенона.
Алгоритм образования последовательности задает всегда только ее конечную
часть с произвольным числом членов, но не может мыслиться как актуально
существующая бесконечность.
Однако, проанализируем еще раз содержание апории.
Математические формы не тождественны чувственному бытию, то есть
пространству нашего прозябания; ибо математические высказывания имеют в виду
пространство, элементами которого являются точки и линии, и относятся к
понятиям, обусловленным аксиомами, определениями, леммами и теоремами.
Состоятельность высказывания проверяется по законам математики, но не с
помощью повседневного опыта, и даже не с помощью эксперимента, проведенного
физиком или химиком.
Одним из основных свойств такого пространства является свойство
непрерывности, базовыми элементами которой являются точка, бесконечная
последовательность, предел. Точки такого пространства – суть образы чисел.
Понятие непрерывности вводится для числовой переменной (или множества точек
так называемой числовой оси) следующим образом (согласно методу Дедекинда и
его последователей – Зенона на них нет!):
Разобьем каким-то образом множество рациональных чисел на два класса так,
что все числа верхнего класса больше всех чисел нижнего класса. Тогда либо в
одном из них содержится точная граница (верхняя или нижняя), либо такой
границы нет. В последнем случае будем говорить, что это разбиение определяет
иррациональное число, причем оно больше всех чисел нижнего класса, и меньше
всех чисел верхнего класса.
Но это определение иррациональных чисел несостоятельно!, ибо логически
неопределенным оказывается выражение: «разобьем каким-то образом множество
рациональных чисел на два класса… » – ибо существует ли способ такого
разбиения в том случае, когда не определена заранее граница между классами?
С этой точки зрения рассмотрение противоречий, подобных указанным в апориях
Зенона, весьма поучительно, ибо заставляет строже исследовать содержание
высказываний (силлогизмов, аргументов).
Введем понятие вещественного числа x как длины отрезка Οx, заключенного
между точкой Ο (началом отсчета) и произвольной точкой X числовой оси.
Избранная произвольная точка действительным образом разбивает множество
рациональных чисел на два класса, определяющих вещественное число x либо как
рациональное отношение отрезков ΟX и Ο1, в случае, если они соизмеримы, либо
как предел бесконечных монотонных последовательностей при измерении отрезка
ΟX с недостатком или избытком. Последнее свойство назовем непрерывностью
множества вещественных чисел (или множества точек линии).
[Не вдаюсь в объяснение деталей, известных математикам, и прошу прощения у
читателя за этот небольшой экскурс в математический анализ. (Подробнее можно
прочитать в следующем издании:*)]
Итак, понятие непрерывности – это свойство множества чисел, заданных на
некотором отрезке, причем вводится аксиоматическое понятие переменной
величины, которая пробегает "последовательно" (!? – подобно Ахиллесу?) все
числа этого множества (называемые ее значениями) или все точки отрезка.
В задаче об Ахиллесе, догоняющем черепаху, условие и обстоятельства берутся
из реального мира, однако рассуждение относится к миру математических
абстракций; и Ахиллес и черепаха представляются в виде точек, лужайка или
дорожка, по которой они бегут, заменяются геометрической линией, и время
становится численной переменной величиной, обладающей свойством бесконечной
делимости.
Но возможно ли мыслить физическое пространство как геометрическое, и ставить
вопрос о его непрерывности, или дискретности? И существуют ли в физическом
мире объекты, подобные линиям и точкам? (Не говоря уж о том, что неясно,
существует ли точка как часть линии и пространства, и существует ли
мгновение как часть времени?)
Если физическое пространство не состоит из точек, то в нем невозможно
сформулировать понятие точки сгущения и предела, а тогда бессмысленно
говорить о свойстве его непрерывности.
Однако, несовпадение реальности и умозрения не снимают проблемы,
поставленные Зеноном, в их математически абстрактной форме. Рассмотрим
геометрическую задачу на движение, в которой точка Α движется позади точки Β
с бóльшей скоростью – догонит ли одна точка другую в соответствии с
аргументом Зенона?
Силлогизм (или аргумент) Зенона состоит из нескольких частей.
Во-первых, так как несомненно, что какое-то время Ахиллес будет находиться
позади черепахи, то пока он будет бежать позади черепахи, он будет пробегать
мимо последовательных точек, в которых черепаха находилась тогда, когда
Ахиллес, находясь сзади нее, пробегал мимо ее предыдущих положений.
Очевидно, мы бежим и ползем словно по минному полю. Мы пытаемся найти ошибку
в рассуждении Зенона, но ошибка заключена в каждом слове, которым мы мостим
дорогу к истине.
Даже если бы Ахиллес и догнал черепаху, я не уверен, что справедливо
сказать, что сначала он находился сзади нее, затем они оказались в одном
месте, затем он оказался впереди нее. Были ли они когда-нибудь вместе, даже
если сначала находился он сзади, а затем оказался впереди? Очевидно, что
время, в течение которого они, якобы, находились вместе, равно нулю – но
тогда существует ли такое событие, которое длилось всего лишь нулевое время?
Быть может, это то же самое, что сказать, что крокодилы летают, но "низéнько-низéнько!"?
Тогда и дважды два равняется иногда пяти – в течение нулевого времени.
Если движение как перебор всех точек непрерывного отрезка, как переход от
каждой точки к последующей, "соседней" (которой не может быть) – невозможно
по свойству непрерывности, то возможен ли и сам непрерывный отрезок? Тáк,
как непрерывность представляется интуитивно, то есть, что точки словно бы
склеены одна с другой, и между ними ничего не втиснуть, и каждая плавно
перетекает в следующую, как перетекает вода, или аксиоматическая непрерывная
величина, – непрерывный отрезок существовать не может.
Точно так же, если мыслить множество как нечто дискретное, как нечто, в чем
точки еще существуют как точки, еще, так сказать, не слиплись, то "слепить"
их в отрезок нельзя.
Но так же невозможно течение времени, то есть наступление следующего момента
времени вслед за данным. Невозможно и наступление последнего момента
движения последовательно через все промежуточные, невозможно и самое начало
движения, то есть переход от начальной точки к "следующей", ибо невозможно
покинуть эту начальную точку, в нулевое количество времени покой заменить на
изменение.
Однако, боюсь, читатель не удовлетворен моими неопределенными рассуждениями,
так как он так и не узнал об исходе состязания. Догнал ли Ахиллес черепаху,
и сможет ли он ее догнать?
Да в том-то и дело, возразил Ахиллес, вытирая лоб, что тáк, как заставляет
меня бежать Зенон, мне никак не пробежать мимо последней точки, которая еще
не позади, но уже не совсем впереди. Я должен пересчитать все заданные
условием точки перед нею, а их бесконечное количество! К тому же, если
пробегáть эти проклятые точки, последовательно их отмечая, то нельзя
пробежать ни одной из них, потому что ни у одной точки нет ни предыдущей, ни
последующей, и их невозможно выстроить в ряд; к тому же, этих точек
бесконечно много, какое-то число их я и мог бы отметить, но не бесконечное
же их количество!
Что-то есть еще дополнительное в самóм рассуждении, что делает его неверным,
но что мы не замечаем. (а черепаха тем временем ползет, не рассуждая).
Дело не только в движении, хотя и оно представляет собою загадку, которую
еще нам предстоит разгадать.
Состязание в беге подменяется выполнением некоторой принципиально отличной
от него задачи.
Приведу обыденный житейский пример.
Возвращаясь из деревенского дома, я должен пройти 4 километра пути до шоссе,
причем вначале я достигаю старинного села С--ва в двух с половиной
километрах от дома, причем, если рюкзак обременителен, и я изнемогаю, то иду
не бессознательно, а именно разбиваю путь на участки, намечаю промежуточные
цели и пытаюсь их достигнуть. После С--ва я говорю себе: а теперь постараюсь
дойти до первой березы в начале пологого подъема к шоссе, в километре от С.
Затем, дойдя до березы, намечаю в качестве цели вторую березу, в трехстах
метрах от шоссе. Затем, дойдя и до этой березы, и утерев пот, намечаю
последний пригорок, от которого остается уже сто метров пути, а последние
двадцать метров бреду в последнем изнеможении, уже не пытаясь ставить
промежуточные цели. И, как ни странно, дохожу до остановки автобуса, и даже
иногда успеваю в него сесть.
Следовательно, в самóм рассуждении Зенона нет ничего сверхъобычного, весьма
часто случается, что одно из важных событий заканчивает, завершает череду
других, но при этом необходимо дополнительное условие, ограничивающее
количество промежуточных событий. Ахиллес не догонит черепаху, пока… – но
может ли число этих пока быть бесконечным?
-------------
Любезный друг, я уже чуть не отослал Вам свое письмо, претендующее на
математическое исследование; но сегодня ночью не мог уснуть, вновь и вновь
возвращаясь к затронутым темам (о чем рассуждаю я столь же давно, как и о
том, кто виноват, и что делать), и почувствовал, что хотя это и
самонадеянно, но невозможно ограничиться одной математикой, а необходимо
затронуть и естествознание и философию, иначе мои рассуждения непродуктивны.
Посему придется добавить к прежнему еще и околоестественные и
почтифилософские рассуждения.
Итак, перечислим вопросы, которые возникли по ходу наших рассуждений и
неявно заключены в исходном рассуждении Зенона.
Существует ли точка, и можно ли утверждать, что линия состоит из точек? Что
значит непрерывность (переменной, линии, пространства, времени), существует
ли она?
Что такое пространство и время, и существуют ли они? Если они существуют, то
чтó значит их существование? Аристотель в Физике приводит рассуждение Зенона
о пространстве и времени, говоря так [в моем переложении]: «всё, что
существует, где-то находится и когда-то случается, то есть, занимает место в
пространстве и времени; если же существуют пространство и время, то в каком
пространстве и времени они существуют? Или их существование отлично от
существования всего остального?»
В понятии неограниченной делимости содержится дурная бесконечность, по
выражению Аристотеля (как в политическом деятеле неотвратимо содержится
дурная кровь преступных наклонностей, что очевидно в фигурах известных
кровопийц недавнего прошлого).
Введение Демокритом неделимого (атома) снимает многие противоречия. Но тогда
естественно напрашивается предположение, что лúбо пространство и время не
существуют сами по себе, а неотделимы от вещественного мира как его способ
существования, либо даже и при автономии (абсолютной или ограниченной) тоже
состоят из наименьших неделимых частиц, естественно уже не содержащих
протяжения и длительности (то есть являющихся в некотором смысле аналогом
точки и мгновения).
Если протяженный отрезок мы мыслим состоящим из точек, лишенных частей и
протяжения, величину слагаем из бесконечного количества абсолютных нулей, то
представить мир сложенным из неделимых кирпичиков мироздания не более
сложно; можно было бы допустить и то, что последнее делимое обладает
размером и длительностью, является неким квантом пространства и времени, но
само состоит из того, что не является веществом и не обладает размером и
длительностью, (можно было бы допустить и то, что неделимое одновременно и
обладает и не обладает протяженностью). Более того, даже "вещь в себе"
перестала бы быть пугалом для философа, ибо в этом случае, начиная,
например, с античной амфоры и совлекая с нее все "субъективное" (аналогично
разделению на части целостности), так что вначале исчезает форма и остается
глина, затем исчезают сначала физические ее свойства, затем химические
(когда от глины остается одна молекула), потом и молекула исчезает, потом и
от атома остаются рожки и ножки, то есть "атомы вещества и электричества",
и, наконец, последние распадаются на "атомы информации", как первоисточник
всякого объективного бытия, который уже не является веществом, а потому и
объективен и субъективен вместе. (Впрочем, тайна сия велика есть, и пора
остановиться).
В этом случае исчезает бесконечная делимость, непрерывность и даже сама
бесконечность, легко начинается и заканчивается движение, у "мгновения"
существует соседнее мгновение, движение в пространстве совершается
последовательно от одной неделимой "точки" к другой, рядом расположенной (и
при этом между ними ничего нет), и более того, Ахиллес наконец-то догнал бы
черепаху – ибо исчезает представление о пределе, о точной границе, всякий
предмет определен до точности измерения, и нельзя сказать, где он начинается
и где кончается.
Однако, заменяя в аргументе Зенона условных бегунов математическими
символами, мы возвращаем рассуждению ту же трудность (апорию), и если в
житейском море уже не тонем, то все-таки обязаны объяснить возможность
правильного логического рассуждения на математическом поле, которое
разверзается хлябями.
Итак, пусть движутся в одном направлении две точки, Α и Β, разделенные
некоторым интервалом, при этом точка Α расположена сзади и движется с
бóльшей скоростью. Прежде чем поравняться с точкой Β, она сначала должна
достигнуть положения, которое та занимала в начале движения, затем… а далее
повторяется рассуждение Зенона, и положение двух точек никогда не совпадет,
то есть переменная никогда не достигнет предела. Но для переменной и кáждую
точку можно мыслить как предел для меньших ее значений (образуя, например,
частичную последовательность, возможность чего входит в понятие переменной).
Очевидно, аксиоматическое понятие переменной величины неотделимо от понятий
движения, времени, последования, точки, бесконечной делимости, непрерывности
и предела, и внутренне противоречиво настолько, что понятие переменной
несостоятельно, она не только не может догнать черепаху, "пробегая" для того
через значения предыдущие, но даже достигнуть любого своего значения, ибо
каждая точка в интервале ее существования является для нее предельной и
недостижимой.
Да, переменная уже трагична, как Ахиллес, которого "хитроумный" Зенон
заставил вечно бежать за черепахой.
Но поскольку функциональная зависимость y = f(x) существует двояко, и как
изменение одной переменной величины под влиянием другой, и как соответствие
между значениями этих величин, то каждую из них можно мыслить и как некую
данность, как множество своих значений, уже вполне и до конца существующее
во всех своих частях и элементах, никуда не спешащее, не меняющееся и не
стремящееся измениться, множество, среди которого уже содержатся (еще даже
до начала состязания) и точки, определяющие положение Ахиллеса позади
черепахи, и точки, определяющие его положение впереди нее, и даже та
злополучная точка их встречи, которой словно бы и не должно существовать, но
которая все-таки есть, как и гипербола (y = 1/x) существует и справа от оси
Y, хотя и не может ее перепрыгнуть при изменении x от минус до плюс
бесконечности.
Но…
[Ах, любезный мой друг, гений Зенона настолько глубок и всеобъемлющ, что
даже отец Логики, Физики и Метафизики – Аристотель – не понял и не разгадал
его загадки, и я, приближаясь к их пониманию, начинаю думать, что если
Господь мне даст достаточно ума, чтобы до конца их понять, должен буду
утаить это понимание, чтобы не лишать человечество способности восхищаться
неразгаданной тайной. Не всё надо открывать, не всякие покровы отдернуть,
истинное знание целомудренно, оно обладает чувством стыдливости, а Истина
подобна невинной деве – ктó достаточно дерзок, чтобы посметь к ней
приблизиться… не скажу – обладать?!]
Тождественно ли понятие множества понятию переменной? (Разумеется, мы все
время говорим о множестве и переменной, определенной на отрезке, то есть не
отступающей от условий задачи Зенона).
Если сначала могло показаться, что время не входит в представление о
непрерывном множестве (каким является множество точек отрезка), то при
дальнейшем исследовании мы увидим, что это не так. Бесконечная делимость и
непрерывность переменной, фокусом которых является предел, на таком
множестве имеют аналогом понятие о точке сгущения, в сколь угодно малом
интервале которой содержится бесконечное число меньших интервалов, по
отношению к которым точка сгущения является не чем иным, как пределом
последовательности уменьшающихся интервалов. Бесконечное множество точек на
отрезке составляет отрезок и внутренне противоречиво как протяженность,
состоящая из того, что не имеет протяжения. Понятие последовательности не
только неотрывно от понятия множества, но и необходимо для обоснования
понятия точки сгущения, из которых состоит множество, как из пределов
состоит переменная. Но последовательность уменьшающихся интервалов, не
способных превратиться в точку сгущения, и последовательность расстояний
между Ахиллесом и черепахой, не способная превратиться в точку их встречи –
это одно и то же. Камнем преткновения является бесконечность
последовательности, у которой обязан быть конец в виде предельной точки.
Но нельзя не только достигнуть предела и остановиться, нельзя и начать
движение, начать изменяться. Все должно быть себе тождественно, и ничто
неизменно, ибо тогда и Α не равно Α. Если в точке покоя начинается движение,
то покой уже не является покоем, а следовательно, движение не должно
начаться. Всякое Α равно самому себе, а значит покоится! Но при продолжении
анализа мы видим, что естественнее придти к обратному результату, а именно,
что не существует покоя (и не прав Пушкин, говоря, что "…есть покой и воля"…
нет, "покой нам только снится"… хотя и верно, что "на свете счастья нет"), и
все находится только в движении.
И нет тождества, нет равновесия, но воистину, "все течет, все изменяется",
как утверждал Гераклит… (хотя по существу все неизменно, ибо ничто под луною
не ново!)
Представление о дискретности физического мира (хотя, впрочем, понятие
дискретности неопределимо вне математических понятий бесконечной
последовательности и предела, которые невозможны в физическом мире) словно
бы снимает неустранимые противоречия логики и бытия, которые нам открыл
великий гражданин Элеи – но теперь я спокоен, ибо непосредственно вижу, что
противоречие неустранимо, оно есть тó неравновесие сущего, которое и
является источником бытия. Существовать – значит пребывать, – но ничто не
пребывает, ничто не покоится, все изменяется, и значит не существует.
Правда, в изменчивости есть свое постоянство, и говорят о динамическом
равновесии. Планеты вечно движутся, обращаясь вокруг солнца, и именно
поэтому на него не падают, и солнечная система неизменна в своем движении.
Покой как тождество невозможен еще и потому, что всякое воздействие, почти
неотличимое от нуля, его нарушает, следовательно покой – это условное
представление о бытии в данный момент времени, в течение мгновения; но так
как течения мгновения нет, длительность мгновения равна нулю, то покой
существует в нулевое время; в то же время, существуют весьма устойчивые
динамические состояния, которые неизменны при значительных внешних
воздействиях (что очевидно для физиков. Но обывательские толпы – а почти все
являются обывателями по отношению к некоторым основополагающим понятиям
нашей жизни – убеждены часто нелепым образом в обратном. Так, распространен
миф о невероятной неустойчивости такого динамического явления, как нация, и
популярный Гумилев растолковал невежественным физикам и лирикам, что каждый
физик наполовину лирик и наоборот, и потому нет ни того ни другого, а только
некие вихри песку, несомые ветром без цели и толку то туда то сюда. Но если
диффузия веществ в природе не перемешала за миллиард лет все на свете во
вселенскую смесь, то тем более нормальное взаимодействие и взаимообогащение
племен, языкóв и культур не превратило немцев в славян, а русских в
китайцев.)
Итак, «покоя нет, покой нам только снится!», и слава Богу, что Ахиллес еще
не догнал черепаху, и я еще успею поразмыслить а потом поговорить о многих
важных вещах, которые из этого проистекают.
Да и, кажется, разгадка "аргумента Зенона о движении" уже совсем близка, и
можно перевести дух, и отложить ее сообщение, сохранив интригу для
следующего письма.
Ибо, боюсь, устал уже читатель от монотонности рассуждения, и пора
переменить тему нашей беседы.
Да и Ахиллес и черепаха тоже устали. Пора отдохнуть и им.
----------
Но по-прежнему не спится, поэтому даже не снится покой.
Мысли, сны, воображение, мечты, математические формулы и мнимые числа,
неприступные красотки и недоступное дно океанских впадин, туманы, радуги и
горы сходны в одном существенном – как-нибудь да существуют, даже когда не
существуют, как достижения несбыточных целей и мнимые числа. Но одно
существует вполне очевидно и осязательно, "весомо, грубо, зримо", а другое
так, что пощупать точно нельзя, как неприступные красотки и мнимые числа –
первое, так сказать, вещественно, а второе – только вообразительно.
И вот всё вообразительное Бог его знает где находится, а вещественное, если
существует, то где-нибудь.
Даже Басаев где-то скрывается, и хотя мы не знаем, где, но "знают кому
надо"… да, впрочем, если и никто не знает, всё же он где-то точно есть – ибо
если его нет где-то, значит он нигде, а значит он не есть.
И даже хитрый электрон, размазанный по орбите своего существования,
существует достаточно определенно все же не на орбите другого атома, а
именно здесь, где существует, хотя и размазанный.
Вот также и атмосфера Земли – не отграничена определенным положением, но
все-таки, имея расплывчатую границу, существует над поверхностью Земли, а не
рядом с Луной.
Следовательно, вещественное, если существует, то не просто так, само по
себе, а где-нибудь.
Аналогично и относительно к времени – вещественное существует или всегда,
как звездное небо, или время от времени, как дождь и снег, но не отвлеченно
от времени; а вообразительное Бог его знает когда существует, иное – всегда
или, лучше сказать, независимо от времени, как простые числа, иное и вовсе
не существует существуя, как мнимые числа, а многое хотя изредка и
появляется, как цветные сны, но пребывает двояко: явление сна возникает в
определенном времени, но его содержание, то, о чем сон повествует, что в нем
совершается, может представлять из себя черт его знает что – и воспоминание,
и предзнаменование, и самую нелепую небываемую фантазию.
(Кстати, о неприступных красотках должен пояснить, что конечно они хотя в
основном и вообразительны, все же отчасти – вещественны.)
(Поясняя свои представления об устройстве мироздания читателям с
"практическим складом ума", я принужден был уточнить сию поверхностную
схему, так как, воспринимая вещественное, мы не сразу переходим к
вообразительному, но вначале, в реакции на вещественное, испытываем
ощущения, затем переходим к представлениям, понятиям, а уже далее к
рассуждениям; и во-вторых, присоединяем к нашей психической и сознавательной
деятельности внимание, оценки, эмотивные реакции, которые прямо не
соотносятся с вещественным, но с ощущениями и представлениями, и наконец,
присоединяем усилия воли, последние же не относятся ни к ощущениям, ни к
представлениям, да и понятием вообразительное не охватываются вполне.
Однако, я ввожу противопоставление вещественного и вообразительного не для
того, чтобы объяснить устройство мироздания, но чтобы задать несколько
вопросов относительно пространства и времени.)
Итак, главный вопрос, который необходимо задать о них, следующий: существуют
ли пространство и время? Излагая воззрения Канта, Лопатин говорит:
«Пространство для нас есть условие явлений, а не их признак или неотделимое
от них свойство.» И там же: «представление о пространстве есть воззрение a
priori». Правда, вещественное так же можно считать условием явлений, но
относится ли пространство к вещественному? Так как всякое вещественное
занимает место в пространстве, то в этом случае следует спросить: в каком
пространстве может пребывать пространство как вещественное? Более того, так
как вещественное по необходимости еще и пребывает, то в каком времени оно
пребывает? Те же вопросы еще очевиднее абсурдны по отношению ко времени, ибо
даже спросить, в каком пространстве пребывает время, мы не осмелимся. Но
именно на эти обстоятельства и указывает "апория Зенона о месте места":
прямо ставится вопрос о существовании пространства – «если место существует,
то в каком месте оно существует?», и косвенно – о его сущности.
(Перефразировать апорию в применении к времени не составляет труда).
Естественным образом мы приходим к необходимости исследовать понятие
существования: "что значит существовать?" Ясно, что вещественное не
существует независимо от пространства и времени, а вообразительное находится
к ним совсем в иных отношениях: так, добро и зло несомненно существуют, как
и любовь и ненависть, но нельзя для них указать ни места ни времени. И если
Бог существует, то таким же образом бессмысленно искать Его и на небе и на
земле, ибо и небо и землю Он содержит в Себе, как и пространство и время.
Более того, смысл существования невещественного полно раскрывается только по
отношению к Богу, как показал это Беркли в своем гениальном «Трактате о
началах человеческого знания».
Итак, если пространство все-таки каким-то образом существует, то что оно из
себя представляет, какими свойствами обладает? Является ли оно неотделимой
принадлежностью предметного мира, его способом существования, или только
условием обнаружения этого мира воспринимающим субъектом? Пребывать в
пространстве можно двояко: занимая неизменное место (положение), то есть
покоясь, или же перемещаясь, то есть в движении. Но и покой и движение
обнаруживаются лишь через время, следовательно, пространство и время
неотделимы друг от друга, и быть может в каком-то отношении представляют из
себя единство.
Апория о летящей стреле исследует геометрическое содержание времени, как в
апории об Ахиллесе и черепахе исследуется геометрическое содержание
движения. На протяженные части, которые при неограниченном делении
превращаются в непротяженные части, то есть в точки, разбивается не
движение, а линия перемещения (или пространство перемещения) и очевидно
следует вопрос: может ли текучее время (в котором ничто не стоит на месте,
по мнению Гераклита, хотя и спорному) состоять из мгновений (в которых уже
бесспорно ничто не движется)? Вот так же, может ли протяженное пространство
(или расстояние) состоять из непротяженных точек?
И так как устал уже не только быстроногий Ахилл, но и ты, мой терпеливый
читатель, и так как поля Диофантовой арифметики слишком малы, чтобы
окончательно изложить разрешение гениальных апорий, прощаюсь до следующего
письма.
Примечания:
* В. И. Чернышев. Азбука высшей математики. СПб., 2003.
|
